Number (16)

(Nguyễn Minh Hưng) Cho \Delta ABC, lấy 3 điểm D,E,F theo thứ tự trên các cạnh BC,CA,AB sao cho tứ giác AEDF nội tiếp. Gọi S,S' lần lượt là diện tích 2 tam giác ABCD E F. Chứng minh:

\dfrac{{S'}}{S} \le {\left( {\dfrac{{EF}}{{2AD}}} \right)^2}

Solution:

Dựng đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC. Kéo dài AD cắt đường tròn (O) tại G

Theo tính chất của tứ giác nội tiếp, ta có:

\widehat{D E F} = \widehat{D A F} = \widehat{G C B}\widehat{D F E} = \widehat{D A E} = \widehat{G B C}

Suy ra

\Delta D E F \sim \Delta G B C \Rightarrow \dfrac{{{S_{D E F}}}}{{{S_{G B C}}}} = \dfrac{{E{F^2}}}{{B{C^2}}} \Rightarrow \dfrac{{S'}}{{{S_{G B C}}}} = \dfrac{{E{F^2}}}{{B{C^2}}}\left( 1 \right)

Dựng AH \bot BC,GK \bot BC lần lượt ở H,K. Ta lại có:

\dfrac{{{S_{GBC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}GK.BC}}{{\dfrac{1}{2}AH.BC}} = \dfrac{{GK}}{{AH}} = \dfrac{{GD}}{{AD}} = \dfrac{{GD.AD}}{{A{D^2}}} = \dfrac{{DB.DC}}{{A{D^2}}}

\Rightarrow \dfrac{{{S_{GBC}}}}{S} = \dfrac{{DB.DC}}{{A{D^2}}} \le \dfrac{{\dfrac{{{{\left( {DB + DC} \right)}^2}}}{4}}}{{A{D^2}}} = \dfrac{{B{C^2}}}{{4A{D^2}}}(2)

Từ (1),(2) suy ra \dfrac{{S'}}{S} \le \dfrac{{E{F^2}}}{{4A{D^2}}} = {\left( {\dfrac{{EF}}{{2AD}}} \right)^2} (ĐPCM)

Chuyên mục:Mathemetica

Inequality (16)

Cho các số thực dương a,b,c thỏa abc = 1. Tìm max của biểu thức sau:

A = \dfrac{1}{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}\left( {b + c} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\left( {b + 1} \right)}^2}\left( {c + a} \right)}} + \dfrac{1}{{{{\left( {c + 1} \right)}^2}\left( {a + b} \right)}}

Chuyên mục:Inequalities

Inequality (15)

Tháng Hai 10, 2010 1 Bình luận

(Nguyễn Minh Hưng) Cho các số thực dương a,b,c nhỏ hơn 1 thỏa {a^3} + {b^3} + {c^3} = 1. CMR:

\dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {1 - {a^2}} }} + \dfrac{{{b^2}}}{{\sqrt {1 - {b^2}} }} + \dfrac{{{c^2}}}{{\sqrt {1 - {c^2}} }} > 2

Solution:

Áp dụng AM-GM, Ta có:

\sqrt {{a^2}\left( {1 - {a^2}} \right)} \le \dfrac{{{a^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \dfrac{1}{2}

Chứng minh tương tự với b,c

Ta có:

VT = \dfrac{{{a^3}}}{{\sqrt {{a^2}\left( {1 - {a^2}} \right)} }} + \dfrac{{{b^3}}}{{\sqrt {{b^2}\left( {1 - {b^2}} \right)} }} + \dfrac{{{c^3}}}{{\sqrt {{c^2}\left( {1 - {c^2}} \right)} }} \ge 2\left( {{a^3} + {b^3} + {c^3}} \right) = 2

Do dấu đẳng thức không xảy ra nên VT > 2

Tổng quát:

Cho các số thực dương {a_1},{a_2},...,{a_n} < 1 thỏa a_1^3 + a_2^3 + ... + a_n^3 = k. CMR:

\dfrac{{a_1^2}}{{\sqrt {1 - a_1^2} }} + \dfrac{{a_2^2}}{{\sqrt {1 - a_2^2} }} + ... + \dfrac{{a_n^2}}{{\sqrt {1 - a_n^2} }} > 2k

Chuyên mục:Inequalities

Inequality (14)

(Nguyễn Minh Hưng) Cho a,b,c là các số thực dương. CMR:

\dfrac{a}{{b + 2c + 3a}} + \dfrac{b}{{c + 2a + 3b}} + \dfrac{c}{{a + 2b + 3c}} \le \dfrac{1}{2}

Solution:

Bất đẳng thức cần CM tương đương với:

\dfrac{{b + 2c}}{{b + 2c + 3a}} + \dfrac{{c + 2a}}{{c + 2a + 3b}} + \dfrac{{a + 2b}}{{a + 2b + 3c}} \ge \dfrac{3}{2} (1)

Áp dụng Cauchy Schwarz, ta có:

\sum {\dfrac{b}{{b + 2c + 3a}}} = \sum {\dfrac{{{b^2}}}{{{b^2} + 2bc + 3ab}}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{\sum {{a^2}} + 5\sum {ab} }}

Tương tự

\sum {\dfrac{c}{{b + 2c + 3a}}} = \sum {\dfrac{{{c^2}}}{{bc + 2{c^2} + 3ac}}} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{2\sum {{a^2}} + 4\sum {ab} }}

Suy ra

VT(1) \ge {\left( {a + b + c} \right)^2}\left( {\dfrac{1}{{\sum {{a^2}} + 5\sum {ab} }} + \dfrac{1}{{2\sum {{a^2}} + 4\sum {ab} }} + \dfrac{1}{{2\sum {{a^2}} + 4\sum {ab} }}} \right)

\ge \dfrac{{9{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{5\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 13\left( {ab + bc + ca} \right)}} = \dfrac{{9{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{5{{\left( {a + b + c} \right)}^2} + 3\left( {ab + bc + ca} \right)}}

\ge \dfrac{{9{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{6{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \dfrac{3}{2} (ĐPCM)

Chuyên mục:Inequalities

Inequality (13)

Tháng Hai 8, 2010 1 Bình luận

Cho các số thực x,y,z thỏa x + y + z = 0. Tìm min của biểu thức sau:

A = \sqrt {3 + {4^x}} + \sqrt {3 + {4^y}} + \sqrt {3 + {4^z}}

Chuyên mục:Inequalities

Inequality (12)

(Lê Văn Thành) Cho các số thực dương {a_1},{a_2},..,{a_n} và số tự nhiên n lớn hơn 1. CMR:

 \prod\limits_{i = 1}^n {\left( {a_i^{n + 1} + a_i^{n - 1} + 2\left( {n - 1} \right)} \right)}  \ge {\left( {2\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \right)^n}

Chuyên mục:Inequalities

Inequality (11)

Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm min của biểu thức:

A = \dfrac{{8\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{{ab + bc + ca}} + \dfrac{{27\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^3}}}

Chuyên mục:Inequalities